Mat-herois: Georg Cantor

Em dic Georg Cantor i soc un tipus extrany ... o això diuen!. Vaig néixer el 1845 a San Petersburg (Rússia) però als 11 anys vaig anar a viure a Alemanya.

No us vull explicar la meva vida perquè no és gaire ... apassionant?. És veritat que no ho vaig passar gens bé i vaig tenir molt males èpoques perquè les matemàtiques que jo pensava eren tant extranyes, enormement complexes i innovadores i sorprenien tant als meus col·legues que no em feien gaire cas (i ja sabeu que això fa molt de mal, eh?). No entenc per què sempre passa que si no ets com els altres, fas com els altres o penses com els altres ho has de passar tant malament!.

Símbol de l'infinit
John Wallis 1655

En fi, al que anàvem. Una de les coses "rares" que vaig estudiar més a fons va ser l'infinit. I me'n vaig sortir prou bé perquè vaig fer entendre a la gent que no n'hi ha prou a dir que infinit és "allò que no s'acaba". Perquè, igual que som capaços de dir si dos nombres són iguals o n'hi ha un més gran que l'altre resulta que també podem decidir si dos infinits són iguals o n'hi ha un més gran que l'altre (como t'has quedao? O_O!!!).

I és que l'infinit trenca totes les nostres idees de quantitat i per això és tant difícil de comprendre. Tothom entén que si tenim un conjunt amb cent trenta-quatre elements i n'afegim un, el nou conjunt en tindrà cent trenta-cinc. En canvi, si el conjunt inicial té infinits elements i n'afegim un altre, el nou conjunt en continua tenint ... infinits elements, oi?. Ho escrivim així:

Però també podríem escriure

i no ens semblaria extrany.

Però és que l'infinit té aquestes coses increïbles i és per aquest motiu que n'estic tant orgullós de ser el primer d'haver-les pensat i per això us ho vull explicar. Savíeu que hi ha exactament la mateixa quantitat de nombres naturals que de nombres parells?. Mireu, amb aquest esquema jo ho veig taaaant clar!!! ...

Adalt tenim tots els nombres i a sota els parells. Però com que a cada un dels de dalt li fem correspondre un dels de baix ( i a l'inrevés) està clar que hi ha la mateixa quantitat, no?.

I si tingués jo més espai per escriure i vosaltres més paciència podria fer dues llistes com les d'abans posant adalt tots els nombres naturals i abaix ... totes les fraccions!!!. Si, si ... TO-TES-LES-FRAC-CI-ONS (que io no fa diftong i s'ha de separar :-)).

És possible que alguns penseu que, de fet, tots els infinits són el mateix que l'infinit dels nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... però és que això tampoc és cert. Hi ha infinits més grans que aquest. I això ho vaig descobrir jo!!!. N'estic orgullós i us ho miro d'explicar ... i ja acabo.

Ja sabem que el conjunt dels nombres naturals, dels nombres parells o de les fraccions (que mira que n'hi ha!) tenen infinits elements. Però tenen un infinit igual d'elements.

Doncs hi ha un conjunt de nombres que té infinits elements i aquest infinit és més gran que el dels nombres naturals.

És el conjunt de tots els nombres decimals (amb tantes xifres decimals com volguem, eh!).

I la comprovació és enginyosa i us deixarà amb la boca oberta. Ja sé que hauria de callar perquè la cosa s'està complicant, però és que ... els matemàtics acostumem a ser gent apassionada i pensem que a tothom els ha de meravellar aquestes coses ... i per això no callem ;-).

Imagineu que la quantitat de nombres decimals i de nombres naturals (que és infinita) fos igual. Això voldria dir, com hem fet amb els parells, que podríem associar al nombre natural 1, un decimal, al nombre 2, un altre, al nombre 3, el seguent, i així indefinidament.

Ja tenim la llista feta de tots els nombres decimals?. Els tenim tots, tots, tots en la llista que hem preparat?. Doncs, no. Imagina la llista que vulguis que sempre faltaran nombres decimals. Que com ho sé?.

En la llista que hem preparat abans d'exemple (però el mètode funcionaria per qualsevol llista eh?) falta el nombre següent. L'has d'escriure tu, eh?.

• Zero coma.
• Al 1r decimal posa-hi un nombre diferent de 4 (així ja no serà com el 1r nombre de la nostra llista)
• Al 2n decimal posa-hi un nombre diferent de 4 (així no serà tampoc com el 2n nombre de la nostra llista)
• Al 3r decimal posa-hi un nombre diferent de 8 (així no serà tampoc com el 3r nombre de la nostra llista)
• Al 4t decimal posa-hi un nombre diferent de 5 (així no serà tampoc com el 4t nombre de la nostra llista)
• i ves fent això per "esquivar" tots els nombre de la llista

Aleph-zero és l'infinit dels naturals
Aleph-ú és l'infinit dels decimals

Veieu! ... l'infinit dels nombres naturals (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...) no dóna per "agafar" tots els nombres decimals. Facis la llista que facis sempre trobes decimals que "no hi caben"!. És per això que vaig dir que l'infinit dels nombres decimals és més gran que el dels nombres naturals.

I els mals de cap que em va portar!.

I si has arribat fins aquí ... tu si que deus tenir un bon mal de cap!!!.